成田空港から東京ドームに電車で行くためには、色々なルートがあります。
そもそも成田空港と東京ドームは、アクセスがよくなくどのルートで行っても乗り換えが必要になります。
中にはとても乗り換えが面倒でわかりにくいルートもあります。
経験からですが、成田空港から京成スカイライナーに乗り、日暮里駅からJR山手線（内回り）に乗り換えて駒込駅経由で行く方法が最も便利でわかりやすいです。
駒込駅から東京メトロ南北線に乗りかえて東京ドームの最寄り駅である後楽園駅を目指して行きます。
以下、成田空港から東京ドームに京成スカイライナー、JR山手線（内回り）、東京メトロ南北線を利用して行く方法を説明します。
成田空港から東京ドームに京成スカイライナー、JR山手線（内回り）、東京メトロ南北線を利用して行く方法
成田空港駅で京成スカイライナー上野行きに乗車
日暮里駅で下車
所要時間約39分
JR日暮里駅で山手線に乗り換え
JR日暮里駅山手線11番線ホームから、JR山手線（内回り）池袋方面行に乗車
駒込駅で下車
日暮里→西日暮里→田端→駒込の順に停車
所要時間約6分
JR駒込駅で東京メトロ南北線に乗り換え
駒込駅で下車したら、進行方向1番前（巣鴨駅寄り）の階段を上ります
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上った先にある改札口から駅を出ます。
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改札口を出て左折
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10ｍほど進むと東京メトロ南北線の入り口があります。
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入口から階段を下りると南北線の改札口に出ます。
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駅に入り2番線ホームから目黒・日吉方面行に乗車
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駒込→本駒込→東大前→後楽園の順に停車
後楽園駅で下車。
所要時間約7分
後楽園駅から東京ドーム
南北線後楽園駅からエスカレーターで上り、地上に出ると目の前に東京ドームがあります。
山手線に乗る際の基礎知識・注意するポイント
山手線は１日中、円を描くようにぐるっと回って走っていますので、ごくたまに来る大崎行き以外は、終点がありません。
ですので、池袋行き・新宿行きという電車はありません。
その代わり、山手線は外まわり（東京・上野方面行）と内回り（池袋・新宿方面行き）という言い方をして区別しています。
山手線特有の用語の”外まわり”とは、時計周り、”内回り”は反時計周りと覚えておくとわかりやすいですし、都内を走るJRの車内放送の意味がわかるようになると思います。